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Beispiele über Maxima und Minima.
dingungen des absoluten Maximums des gegebenen Integrals
unmittelbar in Bezug auf jene Größen; und er gelangte zu der
selben Gleichung p" — cp'— o, welche die Variations-Rechnung
darbrachte. *)
§. 370.
Wird die Aufgabe des vorigen §. auf den Raum bezogen,
so sind - und y als Functionen von x in dem Integrale
./y"dx 2 + dy 2 -j-dz 2
zu bestimmen.
Macht man ^dx 2 -j-dy 2 -t-dz 2 -^: ¿8, so hat man hier:
"dx , * . /"dj , „ . dz
y3^dx 2 -{-(lj a 4 - clz 2 =^ ~ ddx +^—■ ddy -j- ddz =
/(-
& &+a5l^+a5?*)-
ds ds J ds
Der vom Zeichen s befreite Theil liefert die drei Gleichungen
dz
, dx , dy
d S =0 ' d dT
°' d ds — °'
deren sämmtliche Verbindungen zwei zu zwei darin übereinstimmen,
dz dz
—- = const., —“const.
dx dy
darzubringen, weßhalb die gesuchte Linie eine Gerade ist.
Wenn diese Gerade zwischen einem festen Punkte und einer
krummen Oberfläche gezogen werden soll, deren Differential
gleichung
dz — pdx-J- qdy
seyn soll, so muß bei der letzten Grenze
dz"= P "dx"4-c 1 "dy"
seyn. Da die erste eine feste ist, so macht sie rp’=0, und der
Werth von dz" verwandelt p" — 0 in
(dx"+ p"dz") dx" + (dy"+ q"dz") dy" = o;
setzt man die Coefficienten der von einander unabhängigen Varia
tionen gleich Null, so erfolgt
dx" + p"dz" = o, dy"+q"dzz=o,
woraus man vermittelst §. 150. ersieht, daß die gesuchte Gerade
auf der gegebenen Oberfläche senkrecht ist.
Wenn jene kürzeste Linie ihrer ganzen Ausdehnung nach in
einer gegebenen Oberfläche liegen muß, so müssen die unter dem
*y Siehe den „Traiie eie.“ in 4to. B, II. S. 742,