Beispiele über Maxima und Minima. til
Zeichen /befindlichen Variationen dx, dy, dz der Differential-
Gleichung dieser Oberfläche genügen, welche ich durch
dz =*= pdx -f- qdy
darstellen will: man macht also
dz — pdx-f-qdj,
wodurch sdü übergeht in
'dx . dz\ c . /dy . dz>
(f.+4:)'»+:ffi+<3*
-/{(•■ £+ pd s) + {* iu +a ^) M ■
Aus dem mit s behafteten Theile zieht man die Gleichungen
, dx .dz , dy , .. dz
d di+i ,d d s = 0 ' d jr + i d d;= 0 '
deren eine einzige, in Verbindung mit derjenigen der gegebenen
Oberflache hinreichend ist (361), die Natur der krümmsten Linie
zu bestimmen, welche auf jener Oberflache zwischen zwei Punk
ten gezogen werden kann.
Nimmt man an, daß die fragliche Linie zwischen einem festen
Punkte und einer auf derselben Oberfläche befindlichen krummen
Linie zu ziehen sey, so hat man zuerst r/>' = o; und bezeichnet
man die Differentialgleichung der Projection der gegebenen krum
men Linie auf die Ebene der x, y durch
dy = iulx,
so erfolgt 6y" —ndx";
und da hierauf die Gleichung (p” — o in
dx" + p"dz" -f- (dy" + q"dz") n" = o
übergeht, so giebt dieselbe kund, daß die fraglichen krummen Li
nien einander unter rechten Winkeln schneiden.
tz. 371.
Ich will noch diejenige Beziehung zwischen x und y aufsu
chen, welche das Integral
/ lT dx 2 + dy a
in welchem Y eine Function der auf die Grenzen bezüglichen Coor-
dinaten x', y' und x", y" vorstellen soll, zu einem Minimum zu
machen geeignet ist. *)
*) Diese Aufgabe ist die von der Brachystochrone d. i. von der
jenigen krummen Linie, durch welche ein Körper von einem Punkte
zu einem andern in der möglich kürzesten Zeit hinuntersteigt.