24 Beispiel über relative Maxima und Minima.
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welche dem unbestimmten Integrale/U,, wofern es
zwischen x==x' und x=x" genommen wird, densel
ben Werth ertheilen, diejenige aufzufinden, welche
dieFormel /Ounter denselb en Umständen zu einem
Maximum oder Minimum macht.
Diese Aufgabe löst man dadurch, daß man die Variation
der Function
„sü + a/ü/',
in welcher a ein unbestimmter konstanter Coefficient ist, gleich
Null setzt. ^ Es ist hier nicht der Ort, diese Regel im Detail zu
beweisen; übrigens nimmt man leicht wahr, daß wenn die obige
Function ein Maximum oder Minimum ist, und wenn man
sü i =^A macht, das Integral sü immer den größten oder
kleinsten derjenigen Werthe haben wird, welche es in dieser An
nahme haben kann. *) Der unbestimmte Coefficient a dient da
zu, die Bedingung JV x = A in Erfüllung zu bringen.
Wenn man z. B. diejenige krumme Linie zu finden
wünscht, welche bei einem gegebenen Umfange den
größten oder kleinsten Raum einschließt, so hat man:
/U+a/TJ, = /{ydx+ardxy+d^} ;
macht man TTia 2 +dy 2 = ds, so wird der mit dem Zeichen /
behaftete Theil der Integration:
+ 3,1 s) à- ( d * - ¿) ' )j l '
und liefert die Gleichungen:
dy-l-ad?^ 0 , dx —adi = o,
wovon eine einzige hinreicht, die gesuchte krumme Linie zu be
stimmen (365.); allein die Rechnung ist leichter, wenn man sie
beide anwendet. Wenn ihre Integrale
■ 3x p/ dy p
y+ a ^= c - x " —^
unter die Form
y-C':
dx
a T, X-
d 8
ds
C=-
dy
ds
gebracht und hierauf quadrirt und seitenweise addirt werden, so
führen sie zu:
(y—C') 2 + (x — C) 3 — a 2 ,
wodurch ein Kreis mit dem Halbmesser a angedeutet wird.