Zeichen und Grundlehren der Differenzen,R. 31
§. 378.
Man kann auch die Differenz von einer beliebigen Ordnung
durch die Glieder der ursprünglichen Reihe, welche zur Bildung
jener Differenz in Anspruch genommen wurden, unmittelbar aus
drücken.
Da man zuerst hat
du = u t — u und d 2 u = du l —du,
so wird man bemerken, daß du x eben so mit u t und « 2 wird
zusammenhangen müssen, wie du mit u und u t zusammenhangt,
d. h. daß es hinreichend ist, die Stellenzeiger um i zu vermeh
ren, um zu
du J = U 2 - Uj
überzugehen; und man erhalt demnach
d 2 u = u 2 — u, —(u j — u)
= U 2 — 2u, +u;
vermehrt man hierauf die Stellenzeiger um 1 in diesem letzten
Resultate, so erfolgt:
d 3 u = d 2 u t —d 2 u = u 3 —2u 2 -}-u 1
— (u 2 —2u t +u)
=u 3 —3u 2 -J-SUj — u,
und nach der Analogie:
welches Gesetz sich leicht durch die Entwickelung der Gleichung
d ll + 1 u~d n u l —d n u
bewähren läßt.
Das letzte Resultat und dasjenige des vorhergehenden §. fal
len zusammen mit:
U n = (1 -|- du) n und d n u=r(u—1)n,
wofern man bei der ersten Entwickelung die Exponenten der Po
tenzen von du in Exponenten des Kennzeichens d und bei der
zweiten die Exponenten von u in Stellenzeiger verwandelt. Man
kann sogar sogleich
U» — (l+^/) n u
aufstellen, wo bei der Entwickelung gar nichts zu ändern seyn wird.
§. 379.
Wenn eine Function gegeben ist, so ist nichts leichter als deren
aufeinander folgende Differenzen zu finden. Es diene zum Bei
spiele die Function
x m .