Logarithmen.Berechnung durch Differenzen. 35
Und es leuchtet ein, daß man, wenn man die letzten Resultate
bloß mit zehn Ziffern haben wollte, die Differenzen der vierten
Ordnung lange vernachlässigen könnte, ohne einen merklichen
Fehler zu befürchten; denn dieselben müßten sehr oft wiederholt
werden, um auf die dritte Differenz einen Einfluß auszuüben.
Man bildet demnach nach der Regel des §. 374. nach und nach
die Colonnen der dritten, zweiten und ersten Differenzen und
endlich die Logarithmen der Zahlen
10001, 10002, 10003, rc.,
indem man von dem Logarithmus von 10000 ausgeht, welcher
4, 00000 00000 00000
ist. Man muß die Rechnung mit 15 Decimalstellen führen, um
zu erkennen, wann die Anhäufung der vernachlässigten Größen
auf die letzte Ziffer, welche man beizubehalten gedenkt, einzu
wirken beginnt, welches man dadurch wahrnehmen kann, daß
man einige weit von einander entfernte Logarithmen strenge
berechnet; denn wenn man durch die fortgesetzten aufeinander
folgenden Additionen bei diesen Logarithmen anlangt, so muß die
Differenzen-Methode sie so geben, wie sie a priori bestimmt
wurden, wenigstens bei den zehn ersten Decimalstellen, wenn
man sich mit dieser Anzahl begnügen will. Wenn die letzte De
cimalstelle übereinzustimmen aufhört, wie es bei der Zahl 10050
noch nicht der Fall seyn würde, so berechnet man von neuem
a priori die Differenzen J'n, ¿/ 3 u, und bedient sich der
neuen Werthe, wie der vorhergehenden, um die Logarithmen
derjenigen ganzen Zahlen zu erhalten, welche auf diejenige folgen,
bei welche? man inne halten müßte.
Anwendung der Differenzen-Rechnung auf die Interpo
lation der Reihen.
§. 382.
Eine der vorzüglichsten Anwendungen der Differenzen-Rech
nung hat die Interpolation der Reihen zum Gegen
stände, welche Operation darin besteht, zwischen die Glieder einer
Reihe neue einzuschalten, welche demselben Gesetze unterworfen
sind, wie jene. Zu diesem Behufe betrachtet man die verschie
denen Glieder jener Reihe als besondere Werthe derjenigen Func
tion, welche das allgemeine Glied ausdrückt, wofern man der
Veränderlichen, wovon dieses abhangt, ebenfalls besondere Wer
the zutheilt; der Werth dieser Veränderlichen ist von dem Range
des Gliedes abhängig. Wenn der Ausdruck des allgemeinen
Gliedes gegeben ist, so zieht man hieraus so viele Werthe als
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