46 Bew. d. Tayl. Lehrs. durch die Differenzen. 
.* (u-f 4U,-f u 2 ). 
Gedenkt man sich eben so durch die Punkte Mlz, 3VT 4 
eine neue Parabel gelegt u. s. w., und vereinigt die Inhalte ihrer 
Abschnitte, so kann man einen beliebig großen Theil der krum 
men Linie umfassen; wenn die letzte Ordinate durch u m darge 
stellt wird, so erhält man, wenn m eine gerade Zahl ist: 
£<114-411 (u 2 -H u 3+ u |) . V.. 
» » “f* t C u m——i - }*" Um ) 
== £ (u -f- n m ) 4-iX u 3 4- u 4 , . . . + u m _ 3 ) 
+ 1 C u x 4" U 3 • • • • + u m—j). 
Da dieses Resultat, von einer ziemlich zierlichen Form- 
nur Linien befaßt, welche man an der Figur messen kann, so 
kann sie dazu dienen, Räume zu berechnen, die von krummen 
Linien begrenzt sind, deren Gleichungen man nicht hat, welchen 
Vortheil die Methode des tz. 233. nicht darbietet. Uebrigens 
muß man bei beiden Methoden die zwischen zwei besondern Punk 
ten befindlichen Räume besonders berechnen, und die Ordinaten 
mehr vervielfältigen, wenn die Aenderung der Krümmung be 
deutender wird. 
Von der Analogie der Differenzen und Potenzen. 
§. 389. 
Dbschon die Differential- und die Differenzen-Rechnung we 
sentlich verschieden von einander sind, wie man in der Folge 
sehen wird, so haben sie dennoch merkwürdige Beziehungen zu 
einander, und können die eine auf die andere in Anwendung 
gebracht werden. Betrachtet man die erste unter dem Gesichts 
punkte, unter welchem Leibnitz sie darstellte , oder nach der Theo 
rie der Grenzen , so wird sie ein besonderer Fall der zweiten. Man 
hat dies schon am Anfange dieses Buches wahrnehmen mögen, 
und um es noch mehr zu bestätigen, will ich die Taylorsche Reihe 
aus der Gleichung 
:U- 
tiJu n(n—1) 
1.2 
¿/ 2 tt 
+° (n i!£' 2)j,B + !c - (377 - ) 
ableiten. 
Es sey 
und die Veränderliche x möge nach und nach eine Anzahl n 
gleicher, durch « vorgestellten, Zuwachse annehmen. Nnn wird