52 Wie der Tayl. Lehrs, znr Interpolations-Formel werden kann. 
tz. 393. 
Die Formel des §. 382. fließt auch aus dem Taylorschen 
Lehrsätze, welcher zu einer Interpolations-Formel wird, wenn 
man in ihm die Differential-Coefficienten durch ihren aus dem 
vorhergehenden §. entnommenen Ausdruck in Differenzen ersitzt. 
Denn die Gleichung 
4 - — J'n -J- A'Ji+'u 4- A”J i + 2 n -f. A'"J^n rc. 
-h' 
'TiX 1 
giebt: ■ * ■ i^ '* fyw* 
~ = g(zfia-f A^^u + AV^u+zc). 
Zieht man aus dieser Gleichung nach uüd nach die Werthe von 
du. d 2 u d 3 u 
dx' dx 2 ' dx 3 
2c. t um dieselben in der Reihe 
m Nl 
du.1i' d 2 u Ix' 2 d 3 u . 
u+ dir+^o 4 *d?sXi: 
jr 2C. 
ttyj; 
welche dasjenige ausdrückt, wozu u wird, wenn x zu x -j- Ix' wird, 
zu substituiren: so erhält man ein Resultat von der Form 
u 4_ }Lj u + ^ß' ^ + B" z/ 2 u 
s Ix' h'2 l/3\ " 
+ ( B '-h +B "-hi +K "‘c)^ u + lc - 
wo B", B'„ B",, B'"„ ic. so «jtc A‘, X", ft. wtt h un- 
abhängige numerische Coefficienten bedenken; und bezeichnet man 
den Zuwachs der Function u beim Uebergangi von x zu x-f-Ix' 
durch so erfolgt: 
u-j-^'u^u-s- £ z/u4- ~ + B"~ ). J*U* re. 
Da diese Gleichung für jedes u bestehen muss, so findet, sie 
noch Statt, wenn u — e x , und geht alsdann über in : 
deren erste Seite man durch Entwickelung auf einerlei Form mit 
der zweiten bringt, wenn man bemerkt, daß e h '==ti+( e t h —i)] h ; 
und da man auf die Entwickelung von u-ff zurückfällt,'-wenn 
man in der zweiten u, Jn, J 2 u k. für die Großen l, e k —i, 
(e h —i) 2 rc. substituirt: so muß man daraus schließen, daß 
u -ff z/'u — (1 "ff <-0 h 
Dieses so einfache als zierliche Refültat wurde von Lagrange