54 Erklärung und Bezeichnung d. inversen Differenzen-Rechn.
— f(x)
hat, wobei der Zuwachs von x conftant und gegeben ist: ich
werde denselben in der Regel durch h bezeichnen.
Es sey zuerst und demnach
z/u x = f(x).
Um die Operation anzudeuten, welche die Rückkehr von Ju* zu
«x bezeichnen soll, so bedient man sich des Kennzeichens und
schreibt demnach:
s u x = ui = 2 £ (x)",
so daß J und S entgegengesetzte Operationen anzeigen, welche
einander aufheben, wenn sie eine nach der andern bei dersel
ben Function angebracht werden.
Die durch das Zeichen 2 angezeigte Operation heißt auch
Integration; denn^k(x) bezeichnet eine wirkliche Summe. In
der Lhat, summirt man die Gleichungen (1) des §. 375, so
erfolgt:
U n =U-f- ¿/u-j- Ju t -]-¿/u 2 ;
und bezeichnet man den ersten Werth von X durch a und den
darauf bezüglichen Werth von u s durch u, so erhalt man für
einen beliebigen Werth x — a-f-nh,
2£(x) =: u-j-£(a) -j- f(a-j-h) f(a-|-2h)
f [ä (ri—
Dieser Ausdruck, welcher um k(a-s-nll) oder um 5(x) zunimmt,
wenn man zu dem letzten Werthe, welcher x beigelegt wurde,
h hinzufügt, und welcher also f(x) zur Differenz hat, besteht
also aus der Summe aller Werthe, welche £(x) von x = a ein
schließlich bis zu x—a + (n—i)h annimmt, und überdies aus
* dem ersten Werthe von u, welcher unbestimmt ist, und welcher
hier die Stelle der willkührlichen Constante einnimmt, die beim
Üebergange von u x zu ¿/u x verschwinden konnte.
Um von
¿/ r u x = f(x)
zu zurückzukehren, sieht man klar ein, daß so viele Integra
tionen nöthig sind, als Differentiationen Stattfanden, was man
auf folgende Art anzeigen möchte:
ggS'J* u x = u x = ^f(x)^.
Bei jeder dieser Operationen muß man eine neue Constante hin
zufügen , was man auch aus der Bemerkung entnehmen kann,
daß die Gleichung J r u x =£(x), welche die Differenzen der
Function erst von der rten Ordnung an giebt, die r Größen
u, Jn f /J 2 \x ¿¡ X ~~ x \x
und folglich die r ersten Glieder des Ausdrucks