70 Smnirmung der Reihen durch die Differenzen - Rechnung. 
Reihe bezeichnet, in welcher die Differenz der unabhängigen Ver 
änderlichen h ist, so wird die Summe dieser Reihe, die ich 
durch Sf(x) darstellen will, 
,,S£(x)—-5T(x) + f( x )“ 
seyn, oder wird erhalten werden, wenn man, in^5(x), x-j-h 
für x setzt; und man muß nicht unterlassen, dem Resultate eine 
willkürliche Constante hinzuzufügen. 
Verlangt man die Summe der Reihe nur für ganze Werthe 
des Stellenzeigers, so läßt sich die. willkürliche Constante, welche 
alsdann eine wahre Constante ist (395.), gerade so bestimmen, 
wie bei den Integralen der Differentiale. Läßt man die Reihe 
bei demjenigen Gliede anheben, welches dem Stellenzeiger x—a 
entspricht, und hat man im Allgemeinen 
8f(x) — F(x)-f-const., 
so muß man haben: 
F(a) -f* const. = £(a), 
weßhalb 
const. = £Ca) --F(a), 
und 
„Sf(x) = F(x)-FCa) + f(a)“. 
Schließt man die Reihe mit dem Gliede, welches dem Stel 
lenzeiger X = a nh entspricht, so erfolgt: 
f(a) -j- f(st -f" h) -f“ f(a -j- 2 h) ... * £(a —j— rill) 
F (a -s- rill) — F (a) + f (a) . 
welches sich auf 
f (a -{- h) —f (a 2h) ... 4~ f (a -s» nh) = 
F(a + nL) —F(a) 
reducirt und, wie man erwarten mußte, zeigt, daß das Glied 
£(a)' feilten Theil der zwischen den Grenzen x — a und x—a-j-nh 
genommenen Summe ausmacht, daß aber, wenn jenes Glied mit 
eingeschlossen werden soll, die Summe zwischen x=a — h und 
X —a-s-nh zu nehmen ist. 
§. 409. 
Gehen wir nun zu Anwendungen über. Aus den Formeln 
des §. 398. wird man ableiten: 
8x(x + h) (x-j-2ll) ... fx + (m — l)h] = 
X (x-j-h) (x-j- 2h) ... (x-j-mli) 
(m-j-l)h i 
^ 1 
4* const., 
x(x-f'h)(x4-2h) .. . [x-j-(m—l)h]