Summirung der Reihen durch die Differenzen-Rechnung. 71 
(nv—l)h(x-f-h) (x + 2h) . . . [x-}-(m—l)h]~^~ '' 
Ausdrücke, mit deren Hülfe man die Summen der directen und 
inversen Reihen der figurirten Zahlen erhalten kann. *) 
Bei den ersteren, deren allgemeine Glieder 
X x(x -|~ 1) x(x-f-l)(x-s-2) 
1' i.2 r ‘ 1T2T3 
sind, macht man h — l und nach und nach m = i, m==a2 rc.: 
so erfolgt: 
g x_x(x-|-l) 
1.2 
const., 
S 
x(x + l) x(x-fl)(x + 2) 
1.2 1.2.3 
-j- const., 
x(x+l) (x-{-2) __x(x-j-l) (x-i-2) (x-f-3) 
1.2.3 1.2.3.4 
const. 
rc. 
wo man die willkürlichen Constanten weglassen kann, weil alle 
diese Ausdrücke verschwinden, wenn x—o. 
Bei den letzteren, deren allgemeine Glieder 
1 1.2 1.2.3 
x' x(x —J— 1) ^ x(x-j-l) (x+2) ,C ’ 
sind, findet man die zweite Formel, für die erste Reihe wegen 
des Divisors 1 — l, unbrauchbar; allein für die übrigen Reihen 
hat man 
1.2.8 
1.2.3.8 
x(x-j-l) 
1 
l- const. 
1 ' 
3 
x(x+l) (x+2) (x-s-1) (x-j-2) 
-j- const. 
rc. 
Bestimmt man die Constanren dadurch, daß die Summen 
beim ersten Gliede anheben, welches in jeder Reihe die Einheit ist: 
so findet man die Ausdrücke 
2 __ 2 3 3 
1 x-J-l' 2 (x-j-1) (x-j-2), * C ‘ 
Siehe, was diese Reihen betrifft, das „Compleineiit des Eie'mens 
d’Algebre. Es ist gut zu bemerken, daß dieselben mit den Coeffi- 
cienten der Potenzen von z in der Entwickelung von (1 4- iden 
tisch sind.