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Von der Intégration der Differenzen - GleichunHm mit 
zwei Veränderlichen. 
tz. 412. 
Bis hierher setzte ich voraus, daß die Differenz der gesuchten 
Function explicite durch die unabhängige Veränderliche gegeben 
warl Jetzt will ich mich aber mit den Fallen beschäftigen/ wo 
man bloß eine jene Function, deren Differenzen, die unabhän 
gige Veränderliche und deren Zuwachs enthaltende Gleichung hat. 
Wenn die Function y von der Veränderlichen x abhangt, deren 
Zuwachs constant ist, so wird die gegebene Gleichung die fol- 
gende Form haben: 
3%, 7/ ¿1t -ic.) =o. 
Es ist angemessen zu bemerken, daß man hieraus die Dif 
ferenzen 2/y, ^/ 2 y 2c. wegschaffen kann, wenn Man sie durch die 
auf einander folgenden Werthe von y ersetzt, weil man 
^7=7 i~J' ^ 2 J=72 — 2 7i+T, rc. (377.). 
hat; und das Resultat nimmt die Form 
F(x, 7f Jir 72 s rc.) —o 
an, woraus man ersieht, daß jede Differenzen-Gleichung den 
Werth der gesuchten Function durch das Mittel einer gewissen 
Anzahl vorhergehender Werthe finden lehrt. 
Ist die Gleichung z. B. von der ersten Ordnung, so erhält 
man y 3 vermittelst y; ist sie von der zweiten, so erhält man 
y2 durch y x und y ausgedrückt u. s. w. 
Es ist leicht wahrzunehmen, daß eine beliebige Differenzen- 
Gleichung einer Reihe gleichkommt, in welcher man jedes Glied 
vermittelst der Relation desselben mit den vorhergehenden und 
mit seinem Stellenzeiger erhält. Denn hat man z. B. 
y ^ = f (x, y, y x ), 
so leitet man hieraus ab: 
73= f ( x + h , 7i , 7 2 ), 
y 4 =£(x+2h,y 2 , y 3 ), 
rc. 
wofern h. den Zuwachs von x bezeichnet, und man bildet also 
die Reihe 
I, 7i, y 3 ., y 4 , rc. 
vermittelst ihrer beiden ersten Glieder. 
Dieser besondere Fall reicht hin zu zeigen, daß in jeder aus 
einer beliebigen Differenzen-.Gleichung hervorgehenden Reihe