ist 
Integration der Differcnzen-Gleichungen 
immer so viele willkürliche Constanten vorsindlich sind, als Ein 
heiten in dem Exponenten der Ordnung jener Gleichung enthal 
ten sind. 
Man kann jede Differenzen - Gleichung in eine Differential- 
Gleichung von einer unendlich großen Ordnung verwandeln, wenn 
man für Jj, 4 2 j rc. deren Entwickelungen nach §. 391. sub- 
stituirt; und es ist nicht weniger einleuchtend, daß man auch 
jede Differential-Gleichung in eine Differenzen-Gleichung von 
einer unendlich großen Ordnung verwandeln würde, wenn man 
die Differential - (Koefficienten durch ihre Entwickelungen nach 
§. 392. ersetzte. 
Es scheint nicht, daß diese Transformationen, welche den 
Uebelstand haben, eine unendliche Anzahl von Gliedern einzu 
führen, im Allgemeinen sehr nützlich zur Integration der Glei 
chungen seyn können; allein sie sind sehr geeignet, den wahren 
Unterschied zwischen der Differential - und der Differenzen-Rech 
nung auffassen zu machen. Sie beweisen nämlich, daß in Ge 
mäßheit der Natur der letzteren, die Differenzen der unabhängi 
gen Veränderlichen nothwendig bestimmt seyn müssen; denn hat 
man eine Gleichung zwischen 
X, y, z/x, Jj, Jy K., 
in welcher der Zuwachs ¿/x unbestimmt sey, und entwickelt dieselbe 
nach den Potenzen von z/x, z/y, z/ 2 y rc., wodurch sie die Form 
Az/x 4-Bz/y | 
4~ Cz/x 2 + Dz/xz/y 4“ Ez/y 2 4" Fz/ 2 y | = o 
4~ 2C. J 
erhält, so kann man für z/y, z/ 2 y rc. deren Entwickelungen sub- 
ftituiren; und da z/x noch unbestimmt bleibt, so müssen die 
Koefficienten der verschiedenen Potenzen dieses Zuwachses von selbst 
verschwinden. Man erhält also zwischen den Veränderlichen x, y 
und ihren Differentialen eine unendliche Anzahl von Gleichungen, 
welche mit einander übereinstimmen müssen, damit die gegebene 
Etwas bedeute; und in diesem Falle würde diese nur mit der 
ersten jener Gleichungen übereinstimmen, wovon die übrigen die 
auf einander folgenden Differentiale würden. 
Nimmt man die Differenzen-Gleichung nur von der ersten 
Ordnung an, wodurch dieselbe aus 
Az/x 4- Bz/y 4" Cz/ x 2 4- Dz/xz/y 4~ Ez/y* 4- IC. — o 
reducirt wird, und macht