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Übrigens kann man sich auch unmittelbar überzeugen, daß das
Integral (1) für alle Werte von M und N der gegebenen Differential
gleichung entspricht. Denn aus
w = M cos nt + N sin nt (a)
folgt:
^ — n M sin nt -f- n N cos nt - - - - (ß)
d 2 w
dt 3
— n 2 M cos nt — n 2 N sin nt
== — n 2 w (y).
Die Gleichung (6) ist also das zweite Integral von y.
Wir bedürfen aber, wie oben des näheren dargelegt, der beiden
ersten Integrale, und erhalten dieselben durch successive Elimi
nation von M und N aus den Gleichungen («) und (ß), nämlich:
nM=nwcosnt-—^ sin nt {d)
nN = nwsinnt + ^ cos nt (ö^).
Nehmen wir nun die Integration unserer Hauptgleichung
^-i-n 2 ^v-l-^-l-L cosmt-i-O cosxt-i-- - • = o
wieder auf, so wissen wir, daß die Differentiale von (ö) und (ch) sich
nur durch einen Faktor von
d 2 w
dt 2
+ n 2 w = o
unterscheiden können. In der That erhält man durch Differenziierung
von (6):
' d 2 w
und von (6i):
Es sind demnach
dt 2
d 2 w
dt 2 '
-f- n 2 w sinnt=o
n 2 w cos nt = o.
sinnt und cos nt
die früher durch & und bezeichneten Faktoren, womit die
gegebene Differentialgleichung * multipliziert werden muß, um den
ersten Teil