kennt — wobei es gleichgültig ist, ob angenommen wird, daß die
letzteren Wertpaare nur durch die Erfahrung oder durch Rechnung
gefunden sind, ob also der streng mathematische Ausdruck von f(t)
unbekannt oder bekannt ist. Doch mag hinzugefügt werden, daß in
der Störnngsberechnung der letztere Fall vorliegt.
Unter den zahlreichen Auflösungen, welche die Mathematiker —
namentlich Kotesius, Newton, Lagrange, Laplace, Gauß u. a. — von
diesem Probleme gegeben haben, zeichnet sich die aus die Lagrangesche
Jnterpolationsformel gestützte durch besondere Einfachheit aus, weshalb
wir dieselbe hier ausschließlich besprechen werden.
Der zu Grunde liegende Gedanke ist folgender: Man sucht eine
ganze rationale Funktion von t, welche für die gegebenen Werte
t lf 12, i 3 • • • ■ t n mit den bekannten Werten
f(ti), f(t 2 ), f(t 3 ) • • • • f(t„)
genau zusammenfällt. Ist nun die ihrem mathem. Ausdrucke nach
bekannte oder unbekannte Funktion f eine kontinuierliche, was hier
immer vorausgesetzt wird, und sind die Differenzen der gegebenen t
von mäßiger, den jedesmaligen Umständen angemessener Größe, so
darf man annehmen, daß jene ganze rationale Funktion —- die wir
mit xp (t) bezeichnen wollen —- auch für die zwischenliegende Werte
von t nahezu mit f (t) koineidiert. Man wird demnach innerhalb
des Jntegrationsintervalls überhaupt
f(t) = ^^(t) und
sf (t) dt =fip (t) dt
setzen dürfen. Da nun ip (t) ganz und rational, so unterliegt die
Herstellung des gesuchten Integrals in der Form des Ersatzintegrals
keinerlei Schwierigkeiten. Man nennt diese Jntegrationsmethode die
mechanische Quadratur. Angemessener dürfte vielleicht die Be
zeichnung empirische Quadratur sein, da man eine aus einer
Anzahl numerisch gegebener Werte hergeleitete Funktion mit Recht
eine empirische nennt.
Nach Lagrange hat man — um eine ganze rationale Ersatz
funktion von der verlangten Beschaffenheit zu erhalten —