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Vier Werte liefern die Gleichung
s:
ip (t) dt
tt
f (ti) +■ 3 f (t 2 ) + 3 f (t 3 ) -f- f (t 4 )
Mit fünf Werten ergiebt sich:
t r> — t]
IxT
7 f (tj) + 32 f (t 2 ) + 12 f (t 3 ) + 32 f (t 4 ) + 7 f (t 5 )
f xJj (t) dt -
J k
U. s- f.
Um die Genauigkeit der vorhergehenden Formeln zu prüfen und
zugleich die Methode durch ein Beispiel zu erläutern, wollen wir das
Integral
s
dt
1+t 2
bestimmen, indem wir annehmen, daß die Funktion
1
i+t 2
für die vier Werte
tx = 15 t 2 =-g-: t 3 = -g- j t 4 —2
bekannt sei. In diesem Falle ist die vorletzte der obigen Formeln in
Anwendung zu bringen und demnach zu setzen:
dt
1
r dt i r i , o i
1 + t 2 8 [l -M 1 +(f) 2 ^~l+(f) 3 ' 1 + 2 2 J
— 0,32176 ....
Berechnet man das obige Integral nach den gewöhnlichen Regeln
der Analysis, so findet sich:
dt : arc tg 1 = 0,32175,
f.
1 -i-1 2 " » 3
ein Wert, der von der eben durch mechanische Quadratur erhaltenen
Bestimmung nur sehr wenig abweicht.
Es versteht sich übrigens von selbst, daß das empirische Verfahren
desto genauere Resultate liefert, eine je größere Anzahl von Werten
der Funktion f(t) zur Verwendung kommt.
Auch ist einleuchtend, daß die Herstellung vielfacher Inte
grale keine neuen Regeln, sondern nur eine wiederholte An
wendung der obigen Vorschriften erfordert.