U THÉORIE DES FONCTIONS. 
les quantités f., F., F', etc. étant les valeurs de £r, Fx, F'x, etc. ; 
lorsque x = o, où Fou voit que f. sera une constante indéterminée. 
55. Si, pour une équation proposée d’un ordre quelconque, on 
parvient à trouver une équation d’un ordre inférieur qui ne ren 
ferme point de constantes arbitraires, ou qui n’en renferme pas 
autant qu’il peut y en avoir, alors cette équation ne pourra pas 
être regardée comme une équation primitive complète, mais elle 
ne sera qu’un cas particulier de cette équation , dans lequel on 
aurait donné aux constantes arbitraires des valeurs particulières. 
Mais il y a un cas très-étendu, dans lequel il suffit d’avoir plu 
sieurs valeurs particulières de y en x pour pouvoir en obtenir la 
valeur complète 3 c’est celui où l’équation d’un ordre quelconque 
ne renferme les y, y', y", etc. que sous la forme linéaire. 
Soit, en effet, proposée l’équation 
Ay -f- By -f- Cy'-f- Dy'" -f- etc. = o, 
dans laquelle A, B, C, etc. soient des fonctions données de x seul. 
Soient /?, q, r, etc. des fonctions différentes de x, qui, étant substi 
tuées pour j, satisfassent chacune en particulier à cette équation ? 
je dis que l’on aura en général 
y tzz. ap -f- bq c/’-f- etc., 
a, Zq c, etc. étant des constantes arbitraires; ce qui est évident; 
car cette expression de y étant substituée dans la même équation, 
y satisfera indépendamment des constantes. D’où il suit que si 
le nombre des valeurs particulières p, <7, etc. est égal à celui 
de l’ordre de l’équation proposée , c’est- à-dire à l’indice de la 
fonction dérivée y" lelc * la plus élevée , on aura l’expression 
complète de y. L’analyse de l’article 44 fournit un exemple de 
cette méthode. 
Mais il y a plus : on peut alors trouver aussi la valeur com 
plète de y, qui satisfera à l’équation 
Ay + By' -f- C'y"-h etc. = X, 
X étant aussi une fonction quelconc|ue de x.