PREMIÈRE PARTIE , CHAP. IX. 9 3 
et développant suivant les puissances ascendantes de i, on aura 
une série de cette forme 
F (jc , p) -f- P/*-j- Q/ v -f~ etc. 
étant différent de F unité, v > /¿, etc,, et P, Q étant des fonc 
tions données de a:. Donc l’équationF(a^,jr) deviendra, par 
ces substitutions, 
iq' i m r -f- i n s r -f- etc. = Vt -f- Qi -j- etc., 
laquelle devra se vérifier indépendamment de la valeur de i. 
Donc si jx > i , on pourra faire q' — o, m z=p, et r' = P, en 
suite n = v, s'= Q, etc. Ainsi on aura d’abord q = à une cons 
tante , ou plus simplement <7 = 1; ensuite, comme P ne dépend 
que de q et de x, on trouvera la valeur de r en prenant la fonclion 
primitive de P; et ainsi de suite. 
5g. Mais si fx < 1, alors il sera impossible de satisfaire à l’équa- 
lion, de manière que i demeure une constante arbitraire ; et l’on 
devra en conclure que la valeur particulière p ne pouvant pas 
être complétée ainsi, ne saurait être contenue dans l’expression 
générale f(.r, a) qui représente la valeur complète de y. 
Maintenant il est visible que quel que puisse être le premier 
terme P t du développement de F ( x , j ) par la substitution 
de p-\~ qi -h ri m -}-etc. à la place dejr, il ne peut venir que des 
termes pqi, de sorte qu’il sera le même que si on substituait 
simplement p -f- qi à la place de j\ Donc le développement 
de F (x, j) par la substitution de p 4- o à la place de j, sera 
F(.r, p)~\~-—-j-etc. ; donc, puisque la série résultante de ce 
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développement contient un terme affecté de d\ où ^ est > o et 
< 1, il s’ensuit de la théorie donnée dans l’article 29 , que la 
fonction prime F'(jr) devra devenir infinie, lorsque p. 
De là • on tire cette conclusion , que la valeur particulière p 
ne pourra pas être contenue dans l’expression complète de j, si