PREMIÈRE PARTIE, CHAP. IX. 9 5
F {oc, y ) = o serait F (a?, y)' -f- «'F' (¿a) — o; donc, pour qu’elle se
réduise à F (a?, y)'"=■ o, comme dans le cas de a constante, il
faudra que l’on ait F' [a) = o , équation qui servira à déterminer
la valeur de a, et qui n’est autre chose, comme l’on voit, que
l’équation prime de l’équation primitive, prise relativement à a.
D’où il s’ensuit que si on substitue cette valeur de a dans l’équa
tion primitive F {x ,y) = o, on aura une équation en æ et y, qui
satisfera également à l’équation du premier ordre, et qui ne sera
pas renfermée dans l’équation primitive où a est la constante
arbitraire.
On pourra appliquer la même théorie aux équations des ordres
supérieurs, et en déduire des conclusions semblables.
61. Pour voir maintenant si l’équation qui résulte de cette
considération est la même que l’équation primitive singulière,
déduite de l’analyse précédente ; supposons , comme plus haut
( art 58 ), que l’équation du premier ordre soit réduite à la forme
y = F ( x, y ) , et que son équation primitive complète soit
y=i(x,a), a étant la constante arbitraire. Pour en déduire
l’équation primitive où a est variable , on prendra l’équation prime
relativement à a seul ; et si on désigne par <p (x, a) la fonction
prime de f(x, a), prise relativement à a, on aura <p(x,a)=oj
d’où l’on tirera a, qu’on substituera dans £(x, a), et l’on aura
une valeur particulière de j, qui satisfera aussi à la proposée du
premier ordre. Nous appelleronsp cette valeur particulière, comme
dans l’article cité.
Maintenant , puisque la valeur complète î(x, a) de y doit
satisfaire à l’équation y = F (oc : y), quelle que soit la constante
a, il s’ensuit qu’en faisant la substitution, l’équation résultante
f' (oc, a ) == F [jc, f(x, a)] devra avoir lieu, quelle que soit la
valeur de a. Par conséquent son équation prime, prise relativement
à a, regardée comme seule variable, devra avoir lieu aussi, quelle
que soit la valeur de a ( art. 17).
Puisque f (x, a) est la fonction prime de f (x , a ) , pidse relative
ment à a?, la fonction prime de celle-ci, prise relativement
