103 THÉORIE DES FONCTIONS. 
mêmes pour une valeur donnée de x, comme xz=z o, que celles 
qui résultent de l’équation donnée. 
£i l’équation proposée n’était que du premier ordre en x, y,y\ 
alors cette équation ne pouvant fournir que les valeurs de y', y", etc. 
en x et/, ces valeurs, pour ,x = o, contiendraient la valeur in 
déterminée de j ; par conséquent les constantes arbitraires dépen 
draient alors de cette valeur, qui serait elle-même une constante 
arbitraire 5 de sorte que dans ce cas, toutes les constantes arbi 
traires se réduiraient à une seule. Elles se réduiraient à deux, par 
la même raison, si l’équation proposée était du second ordre en 
x, j, y et y" 5 et ainsi de suite. 
65. Pour faire mieux sentir l’esprit et l’usage de ces opérations, 
nous allons les appliquer encore à quelques exemples qui servi” 
vont en même temps d’exercice de calcul. 
Soit proposée la série 
1 . Tl r . « m Ç m -b 1 . mÇm+i) (m + 2) , , , 
^ 11 ' il ( n -f- 1 ) ' n(n-f- 1 ) (n-j- 2 ) " ' ' * ? 
dont on demande la somme. 
Supposons-la égale à y, ensorte qu’on ait une équation en x 
et j ; je multiplie cette équation par x n ~% ce qui donne 
jx n 
x 
■' n — 1 -I x n -I- 
n n ( n 1 ) 
m C m 4- 1 ) 
ri- etc. 
Je prends les fonctions primes de tous les termes , j’ai 
y’x n ~ l Çji — 1 )yx 1l ~ i2 
, \ „ „ , , m (m -4- i') 
( n — 1 ) -j- mx 1 -j — od‘ 
m(m+.^(m+Q etc . 
n ( n -f- 1 ) 7 
où l’on voit qu’il a disparu un facteur du dénominateur de chaque 
terme. 
Je multiplie maintenant l’équation précédente par x 
,m—~n 
? ] ÎU