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a fonc-
u raie.
+• etc.
w au bas
J, etc. re-
", etc., on
+elt.
PREMIÈRE PARTIE, CHAB. Xll. 12y
développement de f(x-f~ i, y~h o) , nous avons commencé par
substituer dans f (x, j/), x-j-i pour x, et nous avons développé
suivant i, nous avons ensuite substitué dans tous les termes
de ce développement , y 4* o pour y , et nous avons dé-
loppé suivant o. Or, il est visible qu’on aurait identiquement le
même résultat, si on commençait par la substitution de j -f- o
pour y, et par le développement suivant o , et qu’on fit ensuite
la substitution de x-f-i pour x , et le développement suivant i.
De cette manière, on aurait d’abord les fonctions primes, se
condes, etc. relativement h y, savoir, f'(x,jr) , £ u (x , y), etc. ;
ensuite on aurait les fonctions primes, secondes , etc. de celles-ci
relativement à x, qui, suivant la notation que nous venons
d’établir, seraient représentées par f'(x, y) , f'(x 9 y) 9 etc.,
f (x,y), f '(x,y) 9 etc.j et on obtiendrait ainsi la même for
mule que ci-dessus, comme cela doit être. Or, dans le premier
procédé, la fonction f ' (x,y) s’obtient en prenant d’abord la fonction
prime de f(x 9 y) relativement à x, ce qui donne f'(x,jr), et
ensuite la fonction prime de celle-ci relativement ¿ijr; et dans le
second procédé, la même fonction s’obtient en prenant d’abord la
fonction prime de f ( x ,y) relativement à y, ce qui donne f (x, y) y
et ensuite la fonction prime de celle-ci relativement à x.
D’où il suit qu’il est indifférent dans quel ordre se fasse la
double opération nécessaire pour passer de la fonction primitive
f (x, y) à la fonction dérivée f'(x,y)-, et comme on doit
dire la même chose des autres fonctions marquées par des traits
placés au haut ou au bas de la caractéristique f, on en peut con
clure en général que les opérations indiquées par ces traits ,
sont absolument indépendantes entre elles et qu’elles conduisent
aux mêmes résultats, quclqu’ordre qu’on suive en prenant les
fonctions primes relativement à x et ky, indiquées par chacun des
traits supérieurs ou inférieurs. Ainsi, par exemple, on aura éga
lement la valeur de f''(x,y), en prenant la fonction seconde
de f ( x, y) relativement ¿i x, et ensuite la fonction prime de
celle-ci relativement à y, ou en prenant d’abord la fonction prime
de f (x,y) relativement à y, et ensuite la fonction seconde de
celle-ci relativement à x, ou bien en prenant la fonction prime