PREMIÈRE PARTIE, CHAP. XII.
a y, on aura, après les réductions,
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3-py3
(2*y + y 2 Ÿ
De même, en prenant la fonction prime def^x,^) relativement
à x, on trouvera
3x’-y' 1 -4- 3xy 3
5 *
(axy+y)»
et ainsi de suite.
Il résulte de là qu’afin que des fonctions données de x et y
puissent être prises pour des fonctions dérivées d’une même fonc
tion primitive, il faut qu’elles satisfassent à certaines conditions.
Ainsi, si F (x, y) et <p(x,y) représentent des fonctions don
nées de x, y; pour qu’on puisse supposer F (x, y) s^f' (x ,y),
et <p ( x, y) = fj {x, y ), il faudra que l’on ait
Ojff) = <P f ( x ,y)-
Et en général, pour qu’on puisse supposer F (x, y) = f” (<r , y )
p
et p (ar, j') =5 f f (x, y), il faudra que l’on ait
= f î(*,.r ) = <?:(*, y)-
Par exemple, si F (¿T,jk) = <P — jqj., ou
pourra supposer F (x, y) = F ( x, y), q>(æ, y) = ^(x ,y) -, car
on trouve F, (x,y) = --——■¥— = $' (x, y); mais 011 ne pourrait
pas supposer F(x,y) = f' (x,y) et cp (x, y) ==f" (x ,y) • car
alors il faudrait que F' (x, y) = <P,{x, y) , ce qui n’est pas.
76. En général, quel que soit le nombre des variables qui entrent
dans une fonction, si on donne un accroissement à chacune de
ces variables, et qu’on développe la fonction suivant les dimensions
formées par ces diiïérens accroissemens, qu’on développe ensuite
de la même manière les fonctions produites par le premier déve
loppement, et ainsi de suite , il règne entre ces différons dévelop-
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