i5o THÉORIE DES FONCTIONS. 
pemens, une loi que nous allons exposer d’une manière générale 7 
parce qu’elle peut être utile dans quelques occasions. 
Soit fz...) une fonction de plusieurs variables indépen 
dantes x, y , s, etc. ; supposons que par la substitution de æ -+-a, 
j 4- /3, z-j-y, etc., à la place de x, y, z, etc., et par le dévelop 
pement suivant les puissances et les produits de a, /3,y > etc., 
cette fonction devienne 
f(x, y, z,. .) + f(i) +f(a)+f(3) + etc. 
Je dénote par f(i) la somme de tous les termes où les quantités 
et, /3 , etc. seront à la première dimension, par f(2), la somme 
de tous les termes où ces mêmes quantités formeront deux dimen 
sions , et ainsi de suite. 
Supposons de plus qu’en faisant la même substitution et le 
même développement dans les fonctions f (i), f(a) , f{5), etc. ; 
elles deviennent 
f(i) + f(i,i) + f(i,2) + f(i,3) + etc., 
f(a) -t- f(a,i) + f(a,2) -f- f(a,3) 4 etc., 
f(5) -j- f(3,i) -f- f(3,2) + f(3,3) -f- etc., 
etc., 
où je dénote par f (1,1), f(i,a), etc., les rangs successifs des 
termes du développement de f(i), de m inière que , puisque les 
quantités a, /3, y, etc. sont à la première dimension dans f(i), 
elles formeront deux dimensions dans f(i,i) , trois dimensions dans 
f(1,2) ; et ainsi des autres. Par cette notation, on voit qu’en général 
la quantité désignée par f (jn,n) renfermera tous les termes du dé 
veloppement de f ( m ) , où les quantités a, /3, y, etc. formeront 
m -f- n dimensions. 
Cela posé, si on substitue d’abord etc. 
dans la fonction f(x,jr, 2...), elle deviendra 
f (x , j, z.. .) -f- f C 1 ) 4 f (2) -4- f(3) -f~ etc. ? 
et si on substitue ensuite dans cette quantité, x~\- ,