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58 THEORIE DES FONCTIONS. 
méthode ne servirait plus. Cependant on peut toujours, quelle 
que soit la forme de l’équation proposée, la ramener à la forme 
de Fart. 91, en y introduisant une variable de plus. 
Soit donc proposée l’équation 
z' = F (x,j, z, z,), 
la fonction indiquée par la caractéristique F étant donnée 5 je sup 
pose z t — u, et comme z est fonction de x, jr, il est clair que a 
sera aussi fonction de donc prenant les fonctions primes 
relativement à x seul, on aura z' == u'. Maintenant l’équation pro 
posée deviendra 
z'=zF{x,f, z, 
prenant les fonctions primes relativement à j seul, et observant 
que z et u sont fonctions de x,j, on aura 
z;=F(7) + ^F'(z) + M/ F( M ), 
où les quantités F 7 ( j ), F' (z), F' (u) dénotent les fonctions primes 
de F (x,y , z, u), prises relativement aux variables isolées j, z, w, 
ainsi que nous l’avons pratiqué jusqu’ici • donc , substituant u et w 7 
pour z t et z], on aura l’équation 
vi = F (7) + uW (z) + U/ W (u), 
dans laquelle les quantités F 7 (j), F' (z), F 7 («) seront des fonctions 
données de x, j, z et u, 
Cette équation serait donc susceptible de la méthode précédente, 
si u était une fonction des variables x, y, z , regardées comme 
indépendantes entre elles ; mais rien n’empêche de les regarder 
comme telles , et de regarder en même temps u comme une simple 
fonction de x, y, s, pourvu qu’on exprime, d’une manière con 
forme à cette supposition, les fonctions primes u' et u¡ qui se 
rapportent aux seules variables x ety- 
Qu’on dénote par u', et t u les fonctions primes de u relative 
ment à x , y , z, il est facile de voir, par les principes établis 
pour la formation des fonctions primes, que , puisque z est essen-