PREMIÈRE PARTIE , CHAP. XVI. 161
avec deux constantes arbitraires a et h, qui satisfera à la proposée
indépendamment des constantes. Cette valeur ne sera que par
ticulière ; mais on pourra, par la méthode de l’article 85, trouver
la valeur générale de z, qui contiendra une fonction arbitraire.
En effet, si f(x,j,z, a, b) = o est l’équation trouvée pour la
détermination de z, on fera b=q>a, et on égalera à zéro la fonc
tion prime de f(a?, j, z, a, <pa), prise relativement à la quan
tité a, regardée comme seule variable j on aura une équation qui
servira à déterminer a, et l’équation fz,a, <pa) — o sera
l’équation primitive cherchée de la proposée* du premier ordre , la
fonction marquée par la caractéristique <p demeurant arbitraire.
J’ai cru devoir exposer cette méthode avec tout le détail né
cessaire pour la faire bien entendre, parce qu’elle est nouvelle et
qu’elle réduit toute l’analyse inverse des fonctions de deux va
riables qui ne passent pas le premier ordre, à l’analyse des fonc
tions d’une seule variable.
94, Pour éclaircir cette méthode par un exemple dont le calcul
soit assez simple, supposons que l’équation proposée soit de cette
forme
z' = Ay + Bz-+- z t ),
A et B étant des constantes, et f ( x, z t ) une fonction quelconque
donnée de x et de z r En rapportant cette équation à la formule
générale de l’article précédent, on aura
J, z, z,) = A/ + Bz4-f(-*,3,);
donc
F(>, j, z, m) = Ajr-HBz + fO, w),
et de là, en prenant les fonctions primes relativement à y et z ,
F'(j) = A > =
de sorte qu’en faisant ces substitutions dans les trois équations
du premier ordre entre x,jr, z, u, la première d’entre elles
deviendra
u! — A — Bu = o 1