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SECONDE PARTIE, CHAP. I. 169 
4. Supposons ensuite que l’on ait à la fois F'jc = f'jc et F"jc=f"jc; 
en prenant trois termes dans le développement des fonctions, nous 
aurons par la même formule de fart. 4o, ( Part I.), 
f(jc4-z) = fcc 4- iï'x4- ~ f'jc + ~ f'" (x+y), 
F (x4- i) = Yæ~\-i¥'x 4- l - F"jc 4- — g F'"( jc 4-7 ), 
<p (x+i) = <pjc + «<p'ar 4- ^ <p”x 4- <P"'(jc + 7). 
Ces valeurs étant substituées dans les expressions générales de D 
et A , à cause de fcc = Fjcj=<Pjc, et ï'x = F'jc, F'jc = Y'x, don 
neront 
D = ^[ p (*+^W'"(*+7)L 
A = i(Px—i?x)+ l (f'*-*"*) 4- ¿3 [P («+7) —<p w (d?+7)]. 
Ici, il est aisé de voir que, tant que les termes affectés de i et 
de ¿ a dans Fexpression de A ne seront pas nuis, on pourra prendre 
i assez petit pour que la quantité A devienne plus grande que D, 
abstraction faite des signes. Car divisant ces deux quantités par i, 
il suffira que la quantité ï'x — l - (ï"x — <p r, x) soit plus grande 
¿2 
que j-g [ <p'" (x 4-7 ) — F'"(jc 4-7 ) ] ? ce qui est évidemment pos 
sible lorsque ï'x — <p'jc n’est pas nulle 5 et si f'jc — ç'x est nulle, 
alors, en divisant encore par i, il suffira que ï"x — <p"jc soit une 
quantité plus grande que ~ [<p'" (jc4-j) — F w ( jc 4-7 )] ; ce qui est 
encore visiblement possible, en diminuant la valeur de i tant qu’on 
voudra, pourvu que f'jc — <p"x ne soit pas nulle. 
Donc, dans ce cas, la troisième courbe ne pourra passer entre 
les deux premières, à moins qu’on n’ait à la fois f'jc = <p'jc et 
<p"jc = f'jc. 
On prouvera de la même manière, que si l’on a pour les deux 
premières courbes 
f jc = F'jc , f'jc = F"jc et f'"jc = F'"jc ,