SECONDE PARTIE, CHAP. IL i«i 
même genre ne pourra passer entre ces deux, si elle if est pas 
d’un degré plus haut. 
i5. La théorie que nous venons de donner sur le contact des 
courbes, n’est qu’une suite de la théorie générale du développe 
ment des fonctions, exposée dans la première Partie. Mais nous 
avons vu (art. 29 et suiv., i re P.) qu’il y a des cas particuliers où ce 
développement échappe à la forme générale, et que ces cas sont 
ceux où une valeur donnée de x rend infinies les fonctions déri 
vées î'x , î r, x, etc. Alors le développement de f ( æ -f- i ) contien 
dra nécessairement, pour cette valeur de x , d’autres puissances 
de i que les simples puissances i, etc., et l’analyse des articles 5 
et 4 se trouvera en défaut. Quoique ces exceptions ne portent 
aucune atteinte à la théorie générale, il est nécessaire, pour ne 
rien laisser à desirer, de voir comment elle doit être modifiée dans 
les cas particuliers dont il s’agit. 
Supposons donc qu’en faisant x = m , la fonction f ( x -f- i ) déve 
loppée en une série ascendante de i, soit de la forme 
îm + ki x + Bi A+r ' + C + etc., 
v, etc. étant toujours des nombres positifs. 
Je remarque d’abord qu’on peut trouver les coefficiens A, B , 
C, etc., ainsi que les exposans A, jjl , v, etc., par une méthode sem 
blable à celle de l’article 5 de la première partie. On fera d’abord 
f ( m -f- i ) = îm •+• , 
et on prendra pour 1 la plus haute puissance de i qui divisera 
f (/72 —f-i) — îm, après les réductions convenables, de manière que 
le quotient P ne devienne ni nul, ni infini en faisant i = o. Lors 
que m — o, l’exposant A pourra être négatif ; dans tout autre cas, 
il sera évidemment toujours positif. On fera ensuite 
P — A + Q, 
A étant la valeur de P lorsque ¡s=o, et on prendra pour ¿‘“.la