i8a THÉORIE DES FONCTIONS.
plus haute puissance positive de i, qui divisera P — A, de ma~
nière que le quotient Q ne devienne ni nul, ni infini lorsque i == o.
On continuera en supposant
QzzzB + ÉR,
B étant la valeur de Q lorsque i = o, et i la plus haute puissance
positive de i qui divisera Q — B, ensorte que le quotient R ne
soit ni nul, ni infini lorsque ¿ = 05 et ainsi de suite. On aura, de
cette manière,
f ( m -f~ i ) = i'm -j- ÉP = £m + A -r Q
= £m+ tA + t +f *B + jj_ e tc.
On a, pour trouver les termes successifs d’une série, des mé
thodes plus courtes ou d’un calcul plus facile, mais la précédente
a l’avantage de ne développer la série qu’autant que l’on veut, et
de donner la valeur du reste. Nous n’aurons pas besoin, pour
notre objet, de connaître ces restes, il nous suffira de savoir
qu’ils peuvent toujours s’exprimer par des quantités de la forme
que nous venons de trouver.
Cela posé , considérons la courbe représentée par l’équation
y = fr, x étant l’abscisse , et y l’ordonnée; supposons qu’elle ait
un point commun avec une autre courbe dont l’ordonnée soit Fa;,
et que ce point réponde à l’abscisse m, ensorte que l’on ait F/>2 = fw,
Au-delà de ce point, les ordonnées des deux courbes seront
f (m -f- i), F ( m -f- i ) pour une abscisse quelconque et leur
différence, que je désignerai par D , sera f(m-f-0 — F
Développons la fonction F ( în + i) comme la fonction f (w-H)?
et soit
F(/« + i) = Fm4-iV, p ■=. a, f q y 7 =/8-f-É/’, etc.,
a-, t , etc, étant des nombres positifs, et a, ¡2, etc. étant les
valeurs de p, q, etc. lorsque i = o ; on aura d’abord , à cause de
F m îm,