SECONDE PARTIE, CH AP. II. ¡85
tes deux premiers termes du développement de f(;n 4-0 étant
ïm -f- , et ceux du développement de F [m 4- i ) étant Fm 4-
supposons qu’ils deviennent égaux, ensorte qu’on ait aussi p = x,
et et = A; la première de ces deux conditions dépendra de la nature
des fonctions désignées par f et F, mais la seconde pourra tou
jours être remplie comme la condition de F m = f n par le moyen
des constantes arbitraires a, c, etc., qui entreront dans la
fonction Fx. On aura donc, dans ce cas,
D = 0 ' r " Q — v r F q + etc. :
et il sera impossible qu’aucune autre courbe passe entre les deux
courbes dont il s’agit, dans le même point qui répond à l’abscisse
m, à moins que les deux premiers termes du développement de
cp (/«4- i) y çx étant l’ordonnée de cette autre courbe, ne soient
aussi les mêmes que ceux du développement de f («¿4- i).
Car s’ils sont différons, ils ne pourront pas se détruire dans
l’expression de la différence A des deux ordonnées f ( m 4-0 et
<p {m 4- i), et l’on aura en général
A = i x A. — / cl 4- 1 1 h Q — i' ' ‘ cj 4- etc. :
à cause de ~ ïm par la condition supposée de la coïncidence
des courbes dans le point qui répond à m. Cette expression
de A étant comparée à celle D == 1' y " Q — i' ' " cj , il est facile
de voir qu’à cause que les exposans y., <7, tt sont nécessairement
positifs par la nature du développement, il sera toujours possible
de prendre i assez petit pour que la valeur de A surpasse celle
de D, abstraction faite des signes, tant qu’on n’aura pas p = A et
cl = A, comme dans les deux premières courbes. Donc, dans tout
autre cas, la troisième courbe passera nécessairement en dehors
des deux autres.
En poussant plus loin le développement des fonc tions f (m 4- i)
et F (m4-ï), on prouvera de la même manière, que si les trois
premiers termes du développement de ces fonctions sont les
mêmes, aucune autre courbe ne pourra passer entre elles, à moins