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équations de l’article précédent, 
a'{x— a) -f- b' (7— h)-=.cd et o!h'y 1 ■=. ç>, 
qui servent à la détermination de %- et de ^r, et qui sont les équa 
tions primes de 
(x—«) 2 + (7— b)* — c* et x—a-{~y (y — b ) = o, 
en y traitant x et 7 comme constantes , et a , b comme seules 
variables. 
Donc, puisque le rayon osculateur d’une courbe est partout 
tangent à la courbe des centres, et est en même temps égal à 
l’arc de cette courbe , il s’ensuit qu’il peut être pris pour ce même 
arc étendu en ligne droite, et qu’ainsi toute courbe peut être regar 
dée comme formée par le développement de celle qui est le lieu 
des centres des cercles osculateurs. C’est en quoi consiste la théo 
rie des développées d'Hujghens, qui n’avait été démontrée que par 
des considérations géométriques. L’analyse précédente fournit en 
même temps l’explication d’un paradoxe qui se présente, lorsqu’on 
cherche, parles formules connues, la courbe formée par le déve 
loppement d’une courbe donnée. 
Si on substitue dans l’équation de cette courbe les expressions 
de ses coordonnées a et h en x , y , f et 7", on a évidemment 
une équation du second ordre, d’où il paraît s’ensuivre qne l’équa 
tion en x et 7 de la courbe cherchée devrait contenir deux cons 
tantes arbitraires , tandis que la génération de cette courbe , par le 
développement de la courbe donnée,n’admet qu’une seule constante 
arbitraire dépendant du point où commence le développement, 
La raison de cette différence consiste , comme nous venons de le 
démontrer, en ce que l’équation de la courbe engendrée par le déve 
loppement , est proprement l’équation primitive complète d’une 
équation du premier ordre, qui n’est elle-même que l’équation 
primitive singulière de l’équation du second ordre, donnée par les 
conditions du problème, et qui, par sa nature, ne peut point avoir 
de constante arbitraire • de sorte qu’il ne peut y avoir qu’une cons 
tante arbitraire, à raison de la première équation primitive. 
CHAT. V,