SECONDE PARTIE, CHAT. VE 217
pour avoir l’expression de Faire, c’est-à-dire, la quadrature de la
courbe, il n’y aura qu’à chercher la fonction primitive de celle
qui représente l’ordonnée, et on pourra ajouter à cette fonction
primitive une constante arbitraire ( art. 4g, première Part. ), qu’on
déterminera par la condition que l’expression de Faire devienne
nulle au point où l’on voudra la faire commencer.
Nous avons supposé dans l’analyse précédente, que les ordon
nées allaient en augmentant ou eu diminuant depuis fr jusqu’à
f(x + ï); cette condition n’aurait pas lieu s’il y avait entre ces
deux ordonnées un maximum ou un minimum ; mais comme on
peut prendre l’intervalle i aussi petit que Fon veut, il est clair
qu’on pourra toujours faire tomber la seconde ordonnée f(x + i)
en-deçà du maximum ou du minimum ; et que par ¡conséquent la
conclusion que nous en avons tirée demeurera toujours la même.
Si la fonction fx exprimait Faire de la section d’un solide, faite
perpendiculairement à l’abscisse x, on prouverait de la même
manière que la solidité serait exprimée par la fonction primitive de
fr. Car désignant par Ex la solidité, la différence F ( x -f- i ) — Fx
exprimerait la portion du solide comprise entre les deux sections
f(x-f-i) et fx, et cette portion serait nécessairement intermé
diaire entre les deux solides prismatiques ïfx et ïf(x -f- i), en
prenant la quantité i aussi petite qu’on voudrait* d’où Fon con
clurait, comme ci-dessus,
F'x = fx.
Ainsi, en faisant tourner une courbe autour de l’axe des x,
on a un conoïde dont la section perpendiculaire à l’axe et répon
dante à l’abscisse x , est un cercle du rayon y, et dont Faire est
—, où 7T est la circonférence du cercle dont le rayon = 1. Or ,
par la nature de la courbe, on aj*=;fx; donc Faire de la section
sera 7 7T (fx) 3 * et la solidité Fx du conoïde sera donnée par la
fonction prime
F'x = \ 7T (fx)®.
28. Le problème de la quadrature des courbes est, comme Fon
Toit, le problème le plus simple de l’analyse inverse des fonctions,
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