¿20 THÉORIE DES FONCTIONS»
deux extrémités de Tare de la courbe compris entre les ordonnées
fr et f(.r-fO), et terminées à ces mêmes ordonnées; donc la
longueur de cet arc devra être renfermée entre les deux quantités
i(Dx et i<p ( x + i), en donnant à i une valeur aussi petite qu’on
voudra. Donc si <X>x est la fonction de x qui exprime l’arc de la
courbe , il faudra que la quantité <Ê> (x + i ) —®x, expression de
l’arc compris entre les ordonnées fret f(x~j~i), soit comprise
entre ces deux-ci i<px et ¿q>(x~}~i), quelque petit que soit i-
d’àù, par un raisonnement semblable à celui de l’article 27, on
conclura = (px. Donc , pour avoir la longueur indéfinie de la
courbe , il faudra chercher la fonction primitive de la fonction 0x }
où p[iq-(fx) s ]; et comme on peut ajouter une constante arbi
traire à la fonction primitive, il faudra déterminer cette constante
de manière que l’expression de l’arc s’évanouisse au point où l’on
voudra le faire commencer.
Donc, si on nomme 5 l’arc de la courbe dont les coordonnées
sont x et y , on aura, en regardant j et 5 comme fonctions de x,
à cause de îx , ï'x ==/', l’équation
*'= CO +j"‘) >
Et si x et y étaient données en fonctions d’une autre variable ,
comme t, alors, en désignant par x', y' 9 s f les fonctions primes
relativement à cette variable, il faudrait substituer —, et —, à la place
de j' et s' ( art. 28), ce qui donnerait cette équation
entre les coordonnées et l’arc.
Suivant le calcul différentiel, les fonctions dérivées / et y r se
raient exprimées par ^ et ^, et l’équation s' = \/i -f-de
viendrait
ds = s/dx* -f- dj a ,
formule connue des rectifications.
00. Si on imagine que la courbe proposée tournant autour de