¿28 THÉORIE DES FONCTIONS. 
les deux dernières , on aura les conditions necessaires pour un 
contact du second ordre, c’est-à-dire, pour que le cercle devienne 
osculateur de la courbe. 
Comme il y a dans ces équations six quantités indéterminées 
a, h, e, d, m et n 7 on pourra satisfaire à toutes ces conditions , 
et le cercle osculateur sera déterminé de grandeur et de position. 
Mais si on ne demande qu’un cercle tangent, il restera deux in 
déterminées , pour lesquelles on pourra prendre le rayon d, et une 
des deux quantités m et n. Dans ce cas donc, l’équation 
je— a-\~ y' {y — b)~{~ z r {z — c)= o 
déterminera le plan dans lequel se trouveront les centres de tous 
les cercles qui peuvent être tangens ; et comme le rayon du cercle 
tangent est nécessairement perpendiculaire à la courbe, cette équa 
tion sera celle d’un plan perpendiculaire à la courbe, en prenant 
a 7 b, c pour les coordonnées du plan. 
Considérons maintenant le contact du second ordre. Les trois 
premières équations donneront 
x 
( ny'— mz' ) cl 
R 
7' 
(n—z')d 
R 
(m—y')d 
R 
en faisant, pour abréger, 
R = V\k n ÿ—mz')*-}- ( n z'Y + ( 
Ces valeurs étant substituées dans la cinquième équation, on 
en tirera 
Ci+./N-*' a )R 
— O-*')/ ~im-y')z'" 
Enfin, la quatrième et la sixième équation donneront 
m 
—y 
71 
y“ 
7 —y 
valeurs qu’on substituera dans les expressions précédentes. 
On trouvera d’abord , après quelques réductions, 
R 
y/1 -fyM-z/ 2 X y/y" a -t- z" z -h ( zy'—y’z y 
¿y"—y'A