8 THÉORIE DES FONCTIONS. 
des sériés , on pourra la développer en une série de cette forme 
fcc -f-pi Hf- qi % -f" ri 3 -j- etc., 
dans laquelle les quantités /?, q, r, etc., coefficiens des puissances 
de i y seront de nouvelles fonctions de x, dérivées de la fonction 
primitive x, et indépendantes de l’indéterminée i. 
2. Mais pour ne rien avancer gratuitement, nous commence 
rons par examiner la forme même de la série qui doit représenter 
le développement de toute fonction fcc, lorsqu’on y substitue x -h i 
à la place de x, et que nous avons supposée ne devoir contenir 
que des puissances entières et positives de i. 
Cette supposition se vérifie en effet par le développement des 
différentes fonctions connues ; mais personne , que je sache, n’a 
cherché à la démontrer à priori; ce qui me paraît néanmoins 
d’autant plus nécessaire, qu’il y a des cas particuliers où elle ne 
peut pas avoir lieu. D’ailleurs, le calcul différentiel porte expressé 
ment. sur cette même supposition, et les cas qui font exception, 
sont précisément ceux où ce calcul a été accusé d’être en défaut. 
Je vais d’abord démontrer que dans la série résultante du déve 
loppement de la fonction ï{x-\~i), il ne peut se trouver aucune 
puissance fractionnaire de i 7 à moins qu’on ne donne à x des valeurs 
particulières. 
En effet, il est clair que les radicaux de i ne pourraient venir 
que des radicaux renfermés dans la fonction primitive fx, et i! 
est clair en même temps que la substitution de x -f- i au lieu 
de x, ne pourrait ni augmenter ni diminuer le nombre de ces 
radicaux , ni en changer la nature, tant que x et i sont des quan 
tités indéterminées. D’un autre coté, on sait par la théorie des 
équations, que tout radical a autant de valeurs différentes qu’il y 
a d’unités dans son exposant, et que toute fonction irrationnelle 
a par conséquent autant de valeurs différentes qu’on peut faire 
de combinaisons des différentes valeurs des radicaux qu’elle ren 
ferme. Donc si le développement de la fonction f[x~{~i) pouvait 
m 
contenir un terme de la forme ui n 7 la fonction ïx serait néces 
sairement