PREMIÈRE PARTIE, CHAP. I. 9 
Sairement irrationnelle, et aurait par conséquent un certain nombre 
de valeurs différentes, qui serait le même pour la fonction f(x 4-¿), 
ainsi que pour son développement. Mais ce développement étant 
m 
représenté par la série fic-E/K-f-ÿP-j-etc.4-ui n ~\~etc., chaque 
valeur de fie se combinerait avec chacune des n valeurs du ra 
dical vA' m ; de sorte que la fonction f(a:4-0 développée, aurait 
plus de valeurs différentes que la même fonction non développée, 
ce qui est absurde. 
Cette démonstration est générale et rigoureuse, tant que x et i 
demeurent indéterminées ; mais elle cesserait de l’être , si on don 
nait à x des valeurs déterminées ; car il serait possible que ces 
valeurs détruisissent quelques radicaux dans £r, qui pourraient 
néanmoins subsister dans ffx + i )• Nous examinerons plus 
bas ( chap. IV} ces cas particuliers et les conséquences qui en 
résultent. 
Nous venons de voir que le développement de la fonction 
f( x 4- i ) ne saurait contenir en général des puissances fraction 
naires de i ; il est facile de s’assurer aussi qu’il ne pourra con 
tenir non plus des puissances négatives de i. 
Car si parmi les termes de ce développement, il y en avait un 
de la forme ? m , m étant un nombre entier positif, en faisant ¿=o ? 
ce terme deviendrait infini- donc la fonction f(.r4-0 devrait 
devenir infinie lorsque i = o ; par conséquent il faudrait que for 
devînt infinie, ce qui ne peut avoir lieu que pour des valeurs par 
ticulières de x. 
5. Nous étant ainsi assurés de la forme générale" du dévelop 
pement de la fonction f(x4-i), voyons plus particulièrement 
en quoi ce développement consiste, et ce que signifie chacun de 
ses termes. 
On voit d’abord que si on cherche dans cette fonction ce qui 
est indépendant de la quantité i, il n’y a qu’à faire i = o, ce qui 
la réduit à fx. Ainsi fx est la partie de f(#4*0? reste l° rs ~