1G THÉORIE DES FONCTIONS»
que la quantité i devient nulle ; de sorte que f( #4“ i ) sera égale
à ïx, plus à une quantité qui doit disparaître en faisant i — o, et
qui sera par conséquent, ou pourra être censée multipliée par
une puissance positive de i : et comme nous venons de démon
trer que dans le développement de f(#4“0? ^ ne P eut en l rer
aucune puissance fractionnaire de i, il s’ensuit que la quantité
dont il s’agit, ne pourra être multipliée que par une puissance
positive et entière de i ; elle sera donc de la forme ¿P, P étant
une fonction de x et qui ne deviendra point infinie lorsque
i = o.
On aura donc ainsi
f(x 4** ) E=5 fr -j- ¿P 7
donc ï{x~\~i) — fx = ¿P, et par conséquent divisible par i-, la
division faite, on aura
p f(x + i) fjg
Or, P étant une nouvelle fonction de æ et i, on pourra de
même en séparer ce qui est indépendant de i, et qui par consé
quent ne s’évanouit pas lorsque i devient nul. Soit donc p ce que
devient P lorsqu’on fait i = o, p sera une fonction de x sans i ;
et par un raisonnement semblable au précédent, on prouvera
que P=^4» iQ, iQ étant la partie de P, qui devient nulle lorsque
* = o, et Q étant une nouvelle fonction de x et f, qui ne devient
pas infinie lorsque i = o.
On aura donc P — p e= «Q, et par conséquent divisible par i \
la division faite, on aura
Soit q la valeur de Q, en y faisant ¿=£20, q sera une fonction
de x sans i, et la partie de Q, qui devient nulle lorsque i devient
nul, sera comme ci-dessus de la forme ¿R, R étant une fonction
de x et i, qui ne deviendra pas infinie lorsque i = o, et qu’on
trouvera en divisant Q — q par i, et ainsi de suite.