V4 Â + *) O + y' % z 2 У 
SECONDE PARTIE, CHAP. XIII. 
291 
en faisant l et n = o ; et Ton aura pour la courbe cette équation 
unique entre les coordonnées æ et y, 
У 
v(. h + x) I 4-y 2 ) 
m 
d’où Гоп tire 
,v. t m. 1 -V. N 
équation à la cycloïde, les abscisses x étant prises sur le dia 
mètre du cercle générateur, et les ordonnées y perpendiculaire 
ment à ce diamètre. 
Puisqu’on suppose que les deux points extrêmes de la courbe 
sont donnés, les quantités co et r ( répondant à ces points, seront 
milles, et les valeurs des quantités A et B seront nulles aussi en 
prenant a et b pour les valeurs de x qui répondent à ces points; 
ainsi la condition B —>A=o sera remplie. Si on faisait d’autres 
hypothèses relativement à ces points, on trouverait d’autres ré 
sultats ; nous ne nous y arrêterons pas, parce que ces différentes 
questions ont été déjà discutées et résolues par les principes du 
calcul des variations. Mais il faut voir ce que donnent les termes 
où les quantités et £ monteront à la seconde dimension, et dont 
la fonction primitive doit être positive pour que le minimum ait 
effectivement lieu. 
Comme la fonction proposée f(x,y,y'...z, z'...) ne contient 
point, dans le cas présent, les variables y et z, mais seulement 
leurs fonctions primes y' et z', il est facile de voir que les termes 
dont il s’agit seront simplement de la forme 
i (У ) + w ( y, z') +1 " 0') ; 
et l’on trouve, en prenant les fonctions primes des quantités Г {y') 
et f' {z') relativement l\y' et z', 
f" (f, z') ==■ 
W‘ + x) (1 +У+*")* 
y'z' 
3 » 
y(A-f-ar) (1 -f-y /? -f-a /2 ) 2 
1 -f- y' 2