SECONDE PARTIE, CHAP. XIII. 2g 5
qui ne contient que les premières dimensions de w, &>', etc. ;
et je vais prouver que cette quantité sera nécessairement une
fonction prime, si î[x, j j"...) est elle-même une fonction
prime d’une fonction de x,f,j'...
En effet, si cette fonction est une fonction prime, quelle que
soit la valeur de j en x, elle le sera encore en mettant au
lieu de j, quelle que soit la quantité oo ; donc la fonction
f 0 5 *>'•••)'
sera aussi nécessairement une fonction prime, en prenant pour
une fonction quelconque de x. Supposons que celte fonction soit
développée suivant les puissances et les produits de a> 9 co\ a> n , etc.,
et dénotons respectivement par P, Q, R, etc. les parties de ce
développement qui contiendront les premières dimensions, les-
secondes dimensions, les troisièmes , etc. des mêmes quantités,
on aura
J+^y+^y'-Hy''. • .)=f(a:,j,y,y'.. O+P+Qy-R+etc,
Ainsi, il faudra que la quantité P + Q+R + etc. soit la fonction
prime d’une fonction de x ,jr,y, etc. et de ¿y, a>', a>" 7 etc. ; et il est
facile de voir que chacune des quantités P, Q, R, etc. devra être
en particulier une fonction prime, puisque ces quantités renfer
mant des dimensions différentes de l’indéterminée co et de ses fonc
tions dérivées a/, ¿y", etc., il est impossible, par la nature des
fonctions dérivées , que les fonctions primitives de P, Q, R, etc.
dépendent les unes des autres. Or, on a
P = oùÏ' ( j) -f- (/') -f- (û"î u (j") -f- etc. (art. cité) *
donc, cette quantité sera d’elle-même une fonction prime. Donc,
enfin , si la fonction f{x , y, y, f...) est une fonction prime,
l’équation
P (j)~[f'(/)]'+ [f'(/')]"- [f' (/'")]'"+etc. = o
sera nécessairement identique.
Réciproquement, on peut démontrer que si cette équation est
identique , la fonction f (jc, jr, j"...) sera nécessairement une