j8 théorie des fonctions.
Pour faire l’autre substitution, soient ix-f-f'xo-j-etc., p-t~p'o~j-etc. 9
ÿ-j-ÿ'o-j-etc., r + Eo-fetc., ce que deviennent les fonctions
ïx,p,q,r, etc. en y mettant x-j-o pour x, et ne considérant
dans le développement que les termes qui contiennent la première
puissance de o, il est clair que la meme formule deviendra
£r 4* pi 4~ <7** 4“ ri 3 4* si* 4~ e tc.
~\-ï'xo-\-p' io-\~q' Po-{-r' Po-\-qXc.
Comme ces deux résultats doivent être identiques, quelles que
soient les valeurs de i et de o, on aura, en comparant les termes
affectés de o, de io, de i*o, etc.,
pz=.ï'x, 2q = p', 5r=q f , 4s = P, etc.
Maintenant, de meme que î'x est la première fonction dérivée
de fx, il est clair que // est la première fonction dérivée de p, que
q' est la première fonction dérivée de q, r' la première fonction
dérivée de r, et ainsi de suite. Donc, si, pour plus de simplicité et
d’uniformité , on dénote par î'x la première fonction dérivée de £r,
par î"x la première fonction dérivée de î'x, par ï'"x la première
fonction dérivée de ï"x, et ainsi de suite, on aura
P =
= î'x,
et de là
p' = f
donc q = —
* 2
_ î"x
’ 2 5
et de là
VI ko
11
**
o
fl
o
r C
_ i m x
et de là
E =
donc s = ~
f l V
f v .r
4
2.3.4
2.3.4
et ainsi de suite.
Donc , substituant ces valeurs dans le développement de la
fonction f ( x + i ), on aura
f'0 fiv™
f (x + i) — fx+ î'xi4-—- i* + P 4- 4 P 4- etc.
Cette nouvelle expression a l’avantage de fair vot comment les
termes do la série dépendent les uns des autres, et surtout comment,