Première partie , chap. m.
*9
Représentons cette équation en général par F (x, /) = o, on
aura, par la résolution ,/ égal à une certaine fonction de x, qu’on
pourra désigner par £r; de sorte qu’en substituant £r pour/dans
la fonction F(ac,/), elle deviendra F (a?, fcc), fonction de x seul
que nous désignerons par cpx. Cette fonction de <px devra donc
être nulle, quelle que soit la valeur de x. Donc elle le sera aussi
en mettant i pour x, quelle que soit la valeur de i. Mais par
cette substitution, çx devient <px + i<p'x -f- - <p' r x -J- etc. j donc,
pour que i puisse être une quantité quelconque, il faudra que l’on
ait séparément les équations <px = o, ç> f x = o, <p"x = o, etc. dont
la première est l’équation donnée, la seconde est sa fonction prime,
la troisième sa fonction seconde, etc.
Or, puisque <px~ F (a?, fa:) = F(a?,/), <p'x sera la fonction
prime de F (a:,/),/ étant regardée comme fonction de x, et
par le principe établi dans l’article précédent, cette fonction prime
sera exprimée par F'(a?) -f-/'F'(/), en désignant par F'(a?) et
F'(/), les fonctions primes de la fonction F (a:,/), prises relati
vement à x seul et à/ seul.
Donc l’équation F(x,j) =o donnera
d’où l’on tire
F' (x) +/'F' (/)=o;
F'O)
y
F' (/)*
Ayant ainsi la valeur de la fonction prime/' en fonction de x et/,
on aura celle de/", en prenant la fonction prime de cette fonction,
et ainsi de suite.
Il résulte de l’analyse précédente, ce principe :
Lorsqu’on a une équation quelconque entre deux variables a:,/,
l’équation subsistera encore entre les fonctions primes de tous ses
termes, ainsi qu’entre leurs fonctions secondes, etc. Nous appelle
rons ces nouvelles équations, équations dérivées ; et en particulier,
équations primes, équations secondes } etc., celles qu’on obtient en
prenant les fonctions primes, secondes, etc.