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PREMIÈRE PARTIE , CHAP. IT. 
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GHAPITRE IV. 
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Digression sur la manière de déduire les séries qui expriment 
les exponentielles , les logarithmes, les sinus > cosinus 3 et les 
arcs, de simples considérations algébriques. 
18. X-ÆS séries qui représentent les quantités exponentielles et 
logarithmiques, ainsi que les sinus et les cosinus , ont été trouvées 
d’abord par le calcul différentiel. Halley est, je crois, le premier 
qui ait imaginé de déduire celles des exponentielles et des loga 
rithmes de la formule de Newton pour les puissances du binôme 
( Transact. philosoph., n° 216), en employant la considération de 
l’infini ou de l’infiniment petit. Cette méthode a été suivie par 
Euler, et étendue aux sinus et cosinus, dans les chapitres YII 
et YIII du premier tome de son Introductio in analysis , etc. Mais 
quoiqu’elle puisse être admise en analyse, on ne saurait discon 
venir qu’elle n’a pas l’évidence, ni même la rigueur qu’on doit 
desirer dans les élémens d’une science ; et nous croyons qu’on 
nous saura gré de nous écarter ici un moment de notre marche, 
pour donner une démonstration des mêmes formules, fondée aussi 
uniquement sur celle du binôme , mais dégagée de toute considé 
ration de l’infini. Nous donnerons même à ces formules une gé 
néralisation qui servira à rendre les séries aussi convergentes qu’on 
voudra dans tous les cas. 
Considérons l’équation générale j = «*, dans laquelle oc est le 
logarithme de y pour la base a ; mettons à la place de a, 1 -f-a—1, 
ce qui est la même chose , et ensuite à la place de ( 1 -f- a — 1 )®, 
X 
[(1 — j)"]" , ce qui est encore la même chose que a x - p on aura