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THÉORIE DES FONCTIONS.
virgule ; alors les puissances dej m —i seront des fractions d’autant
plus petites, qu’elles seront plus hautes, et par conséquent la série
deviendra assez convergente pour qu’il suffise d’en prendre un
petit nombre de termes,
ai. On peut appliquer la méthode précédente à la recherche
des séries qui expriment le sinus par l’arc > ou l’are par le sinus,
et pour lesquelles on emploie aussi ( comme l’a fait Euler dans
le même ouvrage ) la considération de l’infiniment petit et de
l’infini.
En effet, en partant de la formule connue pour la multiplication
des angles cos nx + sin nx V— i (cos x -f- sin x[/ — x )", on a
réciproquement
cos x-f- sin X\/—• 1 = (cos nx -f- sin nxl)",
où le nombre n peut être quelconque.
Maintenant, quelle que soit l’expression de sin x en série de
l’arc x, elle ne peut être que de la forme Ax + B#*-f- etc.; car ?
puisque le sinus devient nul lorsque l’arc est nul, il est visible que
cette expression ne doit contenir aucun terme sans x. Or, comme
cos x ;= \/[i — ( sin x % )], on aura
cos x=\/(i — A*x• — 2 AB# 3 — etc. ) = x — -f- etc.
Les coefficiens A, B, etc. sont censés indépendans de l’arc .r; par
conséquent, ils seront les mêmes pour tout autre arc. Substituant
donc nx pour x, on aura pareillement
sin nx == nAx •+• 7ï*B# a -f- etc. et cos nx = i A x 4- etc>
Ponc l’équation précédente deviendra
Développons le second membre à la manière du binôme ? en fai
sant, pour abréger,