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THÉORIE DES FONCTIONS. 
Mais il y a ici une remarque importante à faire; c’est que dans 
les formules que nous venons de trouver, la quantité A, ainsi que a, 
étant arbitraire, le système de logarithmes peut être pris à volonté, 
au lieu que dans les formules ordinaires relatives aux arcs de cercle, 
le module ~ est égal à l’unité, ce qui donne pour la base le nombre 
e } dont le logarithme hyperbolique est l’unité. Ainsi, celles-ci ne 
sont qu’un cas particulier de celles que nous avons trouvées, mais 
cette particularisation est nécessaire pour qu’elles soient applicables 
au cercle , comme nous l’allons démontrer. 
s5. Tout se réduit à prouver que dans l’expression de sin x eu 
série, le premier terme doit être simplement x, au lieu que nous 
l’avons supposé en général Ax (art. 21). En employant la considé 
ration des infiniment petits , cela est évident ; car on voit que dans 
le cercle, le sinus, à mesure qu’il diminue, s’approche de plus en 
en plus de l’arc, jusqu’il s’y confondre dans l’infiniment petit. 
Ainsi, en supposant l’arc x infiniment petit, on a sin x=x; par 
conséquent A= 1. 
Mais comme nous avons cherché à rendre notre analyse in 
dépendante de la considération des infiniment petits , nous devons 
aussi en affranchir la démonstration du point dont il s’agit. 
Pour cela, nous ne supposerons que le principe établi par 
Archimede, que le sinus, qui est la moitié de la corde de l’arc 
double , est moindre que l’arc auquel il répond, et que la tangente 
est plus grande que ce même arc. Nous aurons ainsi sin x < x, 
... , sin a: sin a; 
et tan g x>x- or, comme tan g x = = —7 :——, on aura 
077 D COSX \/(l — sin/ ’ 
et de là sin x > -p===r-. Employant donc 
l’expression de sin æ en série trouvée dans l’art. 21, il faudra que 
l’on ait, quelque petit que soit l’arc x 9 
etc - < 
Donc