5a THÉORIE DES FONCTIONS,
de x = h. Eu effet, on aura dans ce cas ,
j = o, y=y'(x — b) + -~^ = oo,
x étant =5 , et on trouvera de meme
y' = oo, y" = oo, etc.
Donc le développement dont il s’agit devra contenir alors un terme
de la forme i m , m étant entre o et i.
Soit en effet, x= h -f- i, ùc deviendra ( b — a-{~ i) \/i, de sorte
3
que le vrai développement de cette fonction sera (h—a)
32. C’est aussi de la même manière qu’on résoudra la difficulté
proposée à la fin de l’art. 28, sur les fractions qui demeureraient
toujours indéterminées , en prenant à l’infini les fonctions dérivées
du numérateur et du dénominateur. Nous y avons vu que cela ne
saurait arriver que dans le cas où la même valeur de x rendrait
ces fonctions successives infinies. 11 faudra donc alors supposer
x = a ( a étant la valeur de x qui rend ces fonctions infinies )
dans l’expression générale de la fraction, réduire ensuite cette
expression en série, suivant les puissances ascendantes de i, et
le premier terme de la série, en faisant i = o, donnera la valeur
cherchée de la fraction pour le cas de x—a.
Ainsi, si l’on avait la fraction —*' ^ ~ a ) , qui de-
vient ^ lorsque x = a, et dont les fonctions primes, secondes, etc.
du numérateur et du dénominateur, deviennent toutes infinies par
la même valeur de x, en y mettant a -f- i au lieu de x, et ré
duisant le numérateur et le dénominateur en série, elle deviendra
^ Hh
2 \/a
-f- etc.
. • , i\/i .
yzcu -f — -f- etc.
q.
V 1
y'o. a 1 sa V/2
-f-etc. j
2 \/sa
de sorte qu’en faisant i = o, on aura pour la valeur cherchée
ile la fraction ? lorsque = a.