et de là 
PREMIÈRE PARTIE, CHAP. VI. 
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TJ J . 
X’ ( x -|- i ) 3 
g и trouvera de même 
c 1 • 
x^ ( x + i ) * 
et ainsi de suite, ce qui redonnera la série déjà trouvée. 
Mais pour notre objet, il importe moins de connaître les restes 
exacts de la série développée jusqu’à un terme quelconque, que 
d’avoir des limites de ces restes pour pouvoir apprécier l’erreur 
qu’on peut commettre en ne tenant compte que de quelques-uns 
des premiers termes. 
58. Pour cela , nous allons établir ce lemme général : 
Si une fonction prime de x, telle que ï'x, est toujours positive 
pour toutes les valeurs de x, depuis x = a jusqu’à x = à, h étant 
> я, la différence des fonctions primitives qui répondent à ces 
deux valeurs de x, savoir, ïb— sera nécessairement une quan 
tité positive. 
Reprenons la formule f (x -f* i ) = fr + ¿P , dans laquelle P 
est une fonction de x et i, qui, en faisant i = о, devient ï'x 
( art. 3, 8 ) ; il est évident que si ï'x est une quantité positive, la 
valeur de P sera nécessairement positive depuis ¿ = o jusqu’à une 
certaine valeur de i, qu’on pourra prendre aussi petite qu’on 
voudra. Donc lorsque la valeur de la fonction prime ï'x est posi 
tive, on pourra toujours prendre pour i une quantité positive et 
assez petite, pour que la quantité f(a: + i )— £*? soit nécessaire 
ment positive. 
Mettons successivement à la place de x les quantités a, й + г, 
a 4- 2i, «4-Зг, etc., й-fm,il en résultera que l’on peut prendre i 
positif et assez petit pour que toutes les quantités f (д-f- i) — ïa , 
f [a-f- 2 i) — ï(a -f- i) , ïÇci 4~ Ъ1) — f(a+ 2 0 5 jusqu’à ï[a~\~{n 4“ 1 ) 0 
-—f[a-\- ni) , soient nécessairement positives, si les quantités 
ï’a, ï' (ci 4— i j, f'(л4-аг) ,'etG. jusqu’à ï' (a~{~ ni) le sont. Donc 
aussi, dans ce cas, la somme des premières quantités, c’est-à-dire, 
la quantité f(«4“(^ + i) i ] — f« sera positive.