68 THÉORIE DES FONCTIONS.
les quantités f., f'., f"., etc. étant les valeurs de la fonction ix
et de ses dérivées f'x, f'x, etc., lorsqu’on y fait x = o.
Ainsi pour le développement de i(z~\~x), suivant les puis
sances de x, on aura
f, = fe, f'. = f's, f etc.,
où Ton remarquera que les quantités f'z, f"z, etc. sont également
les fonctions primes , secondes, etc. de fs, ce qui est évident, car
il est visible que (z-\~x),{" (zx), etc. sont également les
fonctions primes, secondes, etc. de f(z+x), soit qu’on les
prenne relativement à x ou relativement à s, puisque l’augmen
tation de z —j— x est la même , en changeant x en x + i, ou z
en z -f- i.
Prenant donc fz, f "z, etc. pour les fonctions dérivées de R,
on aura
f [z -f- X ) = fz + x f ( z 4“ u ) ,
= ïz -f- xi 'z -f- ~ f ' ( z -f- « ),
— Ê5 + xi'z -b ~ i"z + i'" (z -f- u) ,
etc.,
où u désigne une quantité inconnue, mais renfermée entre les
limites o et x.
En changeant z en a? et a? en i, on aura le développement de
i[x-\~ i) suivant les puissances de i 7 et l’on voit que dans ce
développement la série infinie, à commencer d’un terme quel
conque , est toujours égale à la valeur de ce premier terme, en
y mettant x ~\-j à la place de x y j étant une quantité entre o
et ¿5 que par conséquent la plus grande et la plus petite valeur
de ce terme, relativement à toutes les valeurs de j, depuis o
jusqu’à i, seront les limites de la valeur du reste de la série con
tinuée à l’infini.
Si on fait £s;=s m , on aura le développement du binôme (s -{-x ) m ,
et on en conclura que la somme de tous les termes, à commencer