PREMIÈRE PARTIE, CHAT. VIT. 7 i
cia premier ordre contiendra x, y et j', l’équation dérivée du
second contiendra x ,y, y' et et ainsi du reste.
42. Nous allons montrer, par quelques exemples, l’usage des
équations dérivées pour la transformation des fonctions. Et d’abord
nous remarquerons que par la combinaison d’une fonction avec
sa fonction prime, on peut faire disparaître un exposant quelconque.
Soit l’équation y = X m , X étant une fonction quelconque de x,
en prenant les fonctions primes, on aura (art. 16),
y' E= 7?zX m 1 X 7 j
donc, divisant cette équation par la précédente , on aura
y = "x" ’ savoir » x y — mX J = O,
équation dérivée du premier ordre où la puissance X m ne se trouve
plus, et qui dans cet état, est bien plus commode pour déve-
opper la valeur de y en série, par la méthode usitée des coeffictéiis
indéterminés.
En effet, si ou a , par exemple,
X = a -j- bx -J- ex* ri“ dx 3 ri- etc,,
et qu’on suppose
y A -j- Bx ri~ Cx a -{~ D.r 3 -f- etc.,
on aura, en prenant les fonctions primes,
X' = h -f- 2ex ri- 5dx* -f- etc.,
jri = B -H sGr -j- 'ùDx* ri- etc. ;
donc, substituant et réunissant les termes affectés de la même
puissance de x, on aura
«B — mbA -f- [2«C H- hV) — ni (2cA -f- ¿B)] x
ri- [3«D -f- —bC ri- cB —. m {odA ri- 2cB ri- bC)]x f -
ri- etc. ==: o,