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THÉORIE DES FONCTIONS.
équation qui devant être identique, c’est-à-dire avoir lieu quel
que soit x, pour que l’expression supposée de^ soit vraie, donnera
autant d’équations particulières qu’il y a de differentes puissances
de x , et on tirera de ces équations,
mbA
B
QmcA + (m =— i ) ¿B
sa ’
ZmdA + ( 2^ — 1 ) cB -f- ( m — 2 ) bC
oa
etc.
On aura ainsi successivement tous les coefficiens B, C,D, etc.
par des formules dont la loi est visible , et qu’on pourra par con
séquent continuer aussi loin qu’on voudra.
Mais le premier coefficient A demeure indéterminé ; il faut ,
pour le déterminer , recourir à l’équation primitive j = X m ; fai
sant x=zo, on a d’un côté X. = a, et de l’autre j = A j donc
A = CL m .
43, On peut de même, par les fonctions dérivées, faire dispa
raître les logarithmes, les exponentielles et les sinus et cosinus.
En effet, si ^ = 1X, on aura l’équation du premier ordre
j'X— X / = oj si jy-=e x , on aura celle-ci,^ — Xy = o; mais
pour faire disparaître les sinus ou cosinus, il faudra aller à une
équation du second ordre.
Soit donc jr = sin X, X étant toujours une fonction quelconque
de Xj en prenant les fonctions primes, on aura (ait. i4),
f = X' cosX,
et, prenant de nouveau les fonctions primes,
y = X" cos X — X' a sin X j
donc, éliminant de ces trois équations sin X et cos X, on aura
cette équation dérivée du second ordre,
Xy'-Xy + X ,3 y= o
ou