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PREMIÈRE PARTIE, CHAP. Vil. 7 5
où il n’y a plus de transcendantes ; on trouvera la même équation
en faisant j ~ cos X.
Si on fait ici pour X et y les mêmes substitutions que ci-des
sus ( art. 42 ), et qu’après avoir ordonné les termes suivant les
puissances de x, on égale à zéro la somme de tous ceux qui se
trouveront multipliés par la même puissance de x , on aura autant
d’équations particulières qui serviront à déterminer les coefficiens
indéterminés de l’expression supposée de j par les deux qui pré
cèdent. A l’égard des deux premiers, ils demeureront indéterminés ;
mais il faudra les déterminer de manière que l’équation primitive
et l’équation prime aient lieu en faisant x=o. Or l’équation
j = sin X devient alors A=sin a, et l’équationcosX devient
B = b cos a. * *
44. Non-seulement l’équation dérivée du second ordre que nous
Venons de trouver, peut servir à développer en série la valeur
de sin X ou cos X; elle peut servir aussi à trouver une autre
transformation de cette valeur, au moyen des exponentielles.
Supposons, en effet, j = <A, e étant le nombre dont le loga
rithme hyperbolique est l’unité (art. 12), et Y une fonction indé
terminée de jrjen prenant les fonctions primes et secondes, on
aura
f = V'éN , y = (Y'* H- Y" ) ,
et ces valeurs étant substituées dans l’équation dont il s’agit, on
aura, après la division par la quantité qui en multiplie tous
les termes,
X' ( Y" + Y /a ) — X"V' -f- N' 5 = o.
.T’observe qu’on peut satisfaire à cette équation en faisant
Y',== mX/,
m étant un coefficient constant, ce qui donne Y" = mX"; car
substituant ces valeurs, l’équation se réduit à
( 1 -{- nf) X /3 = o;
donc
et tu = [/—
1 -f- m a
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