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Picard vor, denen sichGoursat undPainleve angeschlos 
sen haben. Zum Zwecke besonders astronomischer, aber 
auch geometrischer Anwendungen verzichteten sie auf die 
allgemeine Untersuchung der Differentialgleichungen für 
complexe Variabein; sie beschränkten sich vielmehr auf die 
Erforschung desjenigen Falles, bei welchem alle Elemente, 
die in den Differentialgleichungen Vorkommen, reell sind 
und bildeten für die Berechnung solcher reellen Functionen 
reeller Variabein neue und fruchtbare Methoden aus, durch 
welche sie auch allgemeine Resultate von hoher Bedeutung 
und praktischer Wichtigkeit erzielten, ohne die glänzende 
Entwicklung der Theorie einer complexen Variable zu be 
nutzen, welche diesen Fall nur reeller Veränderlichen etwas 
aus den Augen verloren hatte. Die Picard’sche Methode 
der successiven Annäherungen hat in den letzten Jahren 
besonders viele Anhänger gefunden. Die Vorlesungen, 
welche Painleve 1895 auf Einladung des Königs von 
Schweden in Stockholm gehalten und 1897 veröffentlicht 
hat, stehen auf dem Boden der Theorie der Functionen 
complexer Variabein und betreffen zum grofsen Theile 
eigene Entdeckungen; im letzten Theile jedoch erfolgt im 
Interesse der Anwendungen auf die Bewegungsgleichungen 
der Mechanik auch hier die Einschränkung der Variabein 
auf das reelle Gebiet. 
Im Zusammenhänge mit der Theorie der Transforma 
tionsgruppen stehen die allgemeinen Untersuchungen über 
das Verhalten der Functionen bei Einführung neuer Va 
riabein. Als besonders wichtig und interessant haben sich 
die Eigenschaften derjenigen Functionen erwiesen, die bei 
bestimmten gebrochenen Substitutionen wieder in sich selbst 
übergehen, und von denen die wichtigsten und einfachsten