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m — n 
n -f- 1 
~, welcher Werth sich mit dem beständigen Wachsen 
von n der Grenze ——-- nähert. Die Binomialformel convergirt 
oder divergirt also, je nachdem dem absoluten Werthe nach x < 
oder > a ist. Uebrigens sind die beiden hier unten angegebenen 
Transformationen geeignet, die Convergen; dieser Reihe zu befördern. 
Es ist nämlich 
x a — und ■— 
1 a — 1 — 
x+a x-f-a 
Daraus einmal 
ferner 
m (m-j- 1) / a V , 
1*2 \ x -f a / T 
+ 
(x -f a) m — 2 m a m 
(Í - 
V x + a / 
m (in -fl) / x—a \ 2 
1*2 \ x-fa / 
§. 83. Wir wollen noch die nach steigenden, ganzen positiven 
Potenzen einer veränderlichen Große x geordnete, in das Unendliche 
fortlaufende Reihe von der Form 
a -f a ( x -f a 2 x 2 -{- a 3 x 3 + a n x° .... 
betrachten, wobei die Coefficienten a, a,, a 2 , . . . . beständige end 
liche Großen anzeigen. 
Eine solche Reihe convergirt immer für hinreichend kleine 
Werthe von x. Es ist nämlich dazu nichts weiter nöthig, als daß 
man den größten Werth Ä von a "'' nimmt und dann x < —- 
a„ A 
macht, weil in diesem Falle der Quotient zweier auf einander folgen 
den Glieder kleiner als die Einheit wird. 
Für die Reihe 1 -l-4x-s-9x 2 ,-s-16x 3 -I-.. .-f (n-f l) 2 x n -f-.. .. 
t."u. a n_: 1 (ii-j-I) 2 . , 2 , 1 . . , 
erhalt man — ■ ■ • — I + — + —, was seinen 
a„ n 2 n n 2 
größten Werth erlangt, wenn n — 1 ist. Damit wird A — 4 ; cs 
muß daher x kleiner als \ genommen werden, um eine convergirende 
Reihe zu bekommen.